金融市场布朗运动研究的发展与现状：马金龙与马非特的深入分析

Ma Jinlong 1,2 Mafete 2

（1。广州地球化学研究所，中国科学院，广东，510640，510640

2。Changsha非线性特殊Power Studio，Changsha，Hunan，410013）

摘要Brownian的理论构建了主流金融经济学（数学和金融科学）的完整体系。小部分的布朗尼动议创造了一个机会，可以在复杂的系统科学系统下揭示金融市场的价格波动定律；基于复杂体系科学的布朗人的有限规模指出了人们对金融市场交易中价格波动的猜测方向。

关键字金融市场，布朗运动，分形，分形布朗运动，有限规模的布朗运动

1布朗的运动及其在金融市场中的应用

1.1布朗运动

布朗运动是指不相关的随机行走，它满足统计自相似性，即它具有随机分形的特征，但其时间函数（运动轨迹）是自我伴随的。它具有以下主要特征：粒子的运动由翻译和转移组成，这似乎非常不规则，几乎没有切线。粒子的运动显然是彼此无关的，即使粒子彼此接近距离的直径小于其直径的距离也是如此。颗粒越小，液体的粘度越低或温度越高，颗粒的运动越活跃；颗粒的组成和密度对它们的运动没有影响。颗粒的运动永远不会停止。

罗伯特·布朗（Robert Brown）于1827年提出了原始意义上的布朗木材（BM），指的是液体中悬浮颗粒的不规则运动。直到1877年，J。Deltso才进行了正确的定性分析：布朗颗粒的运动。实际上，它是由周围液体分子不平衡碰撞引起的。 1905年，爱因斯坦（A. Einstein）对这种“常规运动”进行了物理分析，成为布朗运动动态理论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。 1908年，当P. Langzhiwan研究了布朗运动的波动和波动时，他给出了物理学的第一个随机微分方程。 1923年，诺伯特·维纳（Norbert Wiener）提议定义布朗运动空间中的措施和积分，从而形成了维纳尔空间的概念，并对布朗运动进行了严格的数学定义。根据此定义，布朗运动是一个独立的增量过程，这是一个具有连续时间参数和连续状态空间（随机过程）的随机过程。这是这种随机过程中最简单，最重要的特殊情况。因此，维纳过程是马尔可夫过程的一种特殊形式，马尔可夫过程是一种特殊的随机过程。数学社区也经常称为布朗运动维纳过程。很快，Paullevy和后来的研究人员将布朗运动发展为当前的巨型结构，例如稳定的征税分布。在1940年代，日本数学家ITO Kiyosi开发了Wiener的研究结果，并建立了一个随机的微分方程，并使用了Brownian运动干扰项B（t）。在1990年，Pardoux进一步提出了一大种可溶可求的逆随机微分方程，并给出了方程溶液的一般形式，可以将其视为黑色 - choles公式的概括。简而言之，在理论和应用中，布朗运动现在已经形成了两个最基本的随机过程。

1.2布朗运动在金融市场中的应用

将布朗运动与股票价格行为联系起来，然后建立维也纳流程的数学模型是本世纪的重要金融创新，并且在现代金融数学中占据了重要地位。迄今为止，总体观点仍然认为，股票市场正在随机波动，随机波动是股票市场的最基本特征，并且是股票市场的常态。

1900年，法国路易斯（Louis Bachelier）也将股票价格的上升视为他的博士学位论文“投机理论”中的随机运动，而所得方程与描述布朗尼颗粒运动的方程式非常相似。第一次给布朗运动进行严格的数学描述。但是，从此获得的股票价格可能为负，这显然与实际情况不一致。不幸的是，当时他的工作并没有引起人们的注意，直到半个世纪后，人们才发现他的工作的重要性，因此开放了理论上的金融经济学的新时代。 Markowiz（1952）发表了投资组合选择理论； Arrow and Denreu（1954）提出了一般的经济平衡存在定理；罗伯茨和奥斯本（Roberts and Osborne，1959）将随机数字步行和布朗尼运动的概念带入了股票市场研究；和后来的Sharpe（Linther（1965）的资本资产定价模型（CAPM），Mossin（1966）等； Samuelson and Fama（1970）的有效市场理论（EMH）； Fischer Black and Scholes（1973）和Merton（1973），1992年）定价理论（黑色 - 智能模型）； 1976年）套利定价理论（APT）。。

布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为，证券和期货价格具有随机特征。这里所谓的随机性是指数据的记忆性，即过去的数据并不构成预测未来数据的基础。不会同时重复相似的重复。随机现象的数学定义是：在单个实验中，结果的结果似乎不确定；在大量重复实验中，结果在统计上是规律的。布朗运动的维纳过程描述了股价行为模型之一，是马尔可夫随机过程的一种特殊形式。 Markov过程是一种特殊的随机过程。随机过程是基于概率空间的概率模型，被认为是概率理论的动力学，也就是说，他们的研究对象是随着时间的流逝而发展的随机现象。因此，随机行为是统计上规则的行为。股票价格行为模型通常在著名的维纳过程中表达。假设股票价格遵循广义的维纳过程，也就是说，它的预期漂移率和差异不变。维纳过程表明，变量的当前值与未来的预测有关，而变量的过去历史以及变量从过去演变为现在的方式与未来的预测无关。股票价格的马尔可夫性质与市场效率弱一致，即股票的当前价格已经包含所有信息，当然还有所有过去的价格记录。但是，当人们开始使用分形理论研究金融市场时，他们发现其运作并没有遵循布朗尼运动，而是服从了更一般的布朗尼运动[1]。

2分数布朗运动和分形资本市场

2.1得分布朗运动

世界是非线性的，宇宙中的大多数事物都不是订购，线性，稳定和平衡的，而是混乱，非线性，不稳定和易变的沸腾世界。换句话说，宇宙充满了分形。在大量自然和社会现象中有一种随机过程，例如股票市场的价格波动，心率和脑电波的波动，电子组件中的噪声，自然地形等。它们具有以下特征：时间域或空域存在自相似性和长期相关性；在频域中，其功率频谱密度基本上符合一定频率范围内1/Fγ的多项式衰减定律。因此，它称为1/F家族随机过程。当对此类过程进行建模时，由于常用的ARMA方法仅适用于相关结构呈指数减弱的过程，因此其效果不好[2]，因此人们一直在寻找各种模型来模拟此类随机过程。其中，Benoitmandelbrot和Vanness [3]提出的分数BrownianMotion（FBM）模型是使用最广泛的模型。它具有两个重要的特性：自相似性和非平稳性，并且在许多自然和社会现象中是固有的。特征。在不同的文献中，分数布朗运动的名称具有不同的名称，例如分形的布朗运动，偏见的随机步行，分形时间序列，分形维纳过程等。其定义如下：

设置0

分数布朗运动的特征是时间相关函数c（t）≠0，即，它具有持久性或逆持久性或“远程相关性”，这在一般性中不会丢失。在一维情况下，布朗运动和分数布朗尼人。运动的定义。布朗分数运动既不是马尔可夫的过程，也不是半马丁纳尔，因此不能使用通常的随机性对其进行分析。分数布朗运动和布朗运动之间的主要区别在于，布朗运动的增量不是独立的，而布朗运动的增量是独立的。它们处于布朗尼运动的深度和布朗运动水平。分数布朗运动（分形噪声）的分形值等于，h是赫斯特指数，而布朗运动的分形值（白噪声）都是2。

赫斯特在一系列实证研究中发现了自然现象遵循“偏斜的随机步行”，即趋势加噪声，因此提出了重新缩放的极端差异分析方法（R/S分析）[5]。假设r/s表示重新缩放的差异，n表示观测值，a是固定常数，而h表示hirst索引。在40多年的研究中，通过大量的实证研究，赫斯特建立了以下关系：

（1）

通过采用公式（1）的对数，您可以得到：

（2）

只需找出关于N的r/s的日志/对数图的斜率，您就可以估计H. Hurst索引H的值H。Hurst索引H用于测量序列相关性和趋势强度：当H = 0.5时，标准的Brownian运动时，时间序列遵守随机步行；当h≠0.5，c（t）≠0，并且与时间无关，这是分数。布朗运动的特征。当0.5时

2.1分形资本市场

自然不是重复模式的序列，它的特征是局部随机性和全球顺序。现实生活中存在的每个分形的细节都不同，整体概念上都相似。现实世界中的分形和全球群体由统计结构控制，同时保持局部随机性。实际上，大多数人在收到信息时不会立即做出决定。他们将等待确认信息，直到趋势显而易见。因此，由于确认趋势所需的时间各不相同，因此学习消化不均可能会导致随机游泳的偏见。曼德布罗（Mandebrot）称这种随机运动为部分布朗运动。这意味着金融市场遵守布朗式运动，而有效的市场理论只是分形分布的特殊情况。分数布朗尼运动是具有分形特征的自然现象的高阶现实本质，而金融市场的价格波动行为是具有分形特征的现象，例如自相似性，没有特征长度，良好的结构，或者部分以某种方式部分。与整体相似。因此，连接两者将使我们进入一个全新的领域。

Edgar E·Peters（1996）提出了分形市场假设（分形市场假设，FMH）。分形市场假设强调了基于投资者行为的流动性和投资起点的影响，目的是提供一个符合我们对投资者行为和市场价格变动的观察的模型。彼得斯使用R/S分析方法来分析不同的资本市场（例如股票市场收益率和汇率），并发现了分形结构和非周期性周期，证明了资本市场是非线性系统。 Xu Longbing和Lu Rong（1999）对上海和深圳股市进行了R/S分析，Hurst指数分别为0.661和0.643，期限为195天； Zhang Wei和Huang Xing（2001）使用了更长的抽样间隔，并分析了上海和深圳股票市场的每日和每周产量也随机破坏了产量序列，这进一步证明了市场中非线性结构的存在； Fan Longzhen和Tang Guoxing（1998）[6]，Cao Hongduo等。（2001）[7]研究了决策中布朗尼动议的投资机会理论； Liu Shaoyue和Yang Xiangqun（2002）[8]（2004）[9]讨论了欧洲风格的不确定的布朗尼运动环境中未确定的利益的定价，以及以获奖资产的股息支付的欧洲风格期权的定价；周川（2002）[10]通过分析布朗运动和分形布朗运动的模拟过程，我们提出了分形维也纳过程的概念，并使用它来得出包含分形维也纳工艺的微分方程，随后是股票价格，而没有股票。 Xu Xusong等。（2004）[11]指出，稳定的征税分布具有主要缺陷，这是R/S分析的理论基础。他们在含义和逻辑上分析了分数布朗运动与R/S分析之间的密切联系，并提出分数布朗运动是R/S分析的理论基础。

分形理论使用定量参数来描述系统的分形特征，从而揭示了复杂现象背后隐藏的定律以及零件与整体之间的基本联系。静态碎片尺寸并未在计算中引入时间因素，例如Hausdrff尺寸，组合尺寸，信息尺寸等，它们都是系统中的一定常数。动态分形尺寸（Du Xingfu，1994 [12]）根据考虑随时间变化的考虑来计算普通函数和迭代功能的分形维度。动态维度的使用可以识别股票期货价格行为的临界点（转折点），并取得更好的结果。例如，Hou Xiaohong和Li Yizhi等。（1999）[13]使用分形理论的动态维度首次研究期货价格行为，并确定了期货价格曲线的峰值和山谷，然后审判了趋势并预测了期货价格的逆转。

对于开放的金融市场交易系统，个人行为和整体行为之间也具有复杂的反馈效果。所有这些市场参与者之间的相互作用在表面上是复杂而非线性的，具有分形结构（分裂）结构）。无论是股票和期货价格波动的历史顺序还是实时市场；无论是美国证券和期货市场一百年以上，日本证券和期货市场还是新兴中国证券和期货市场，价格波动都完全相同。，具有分数的布朗运动特性。甚至广泛的经济波动也是相同的。

3.有限规模的布朗尼在金融市场上的价格波动

1967年，Benoit Mandelbrot [14]发表了一篇题为“英国的海岸线多长时间，统计自相似和分形维度”，该文章首先注意到了理查森所做的早期研究：在测量无限尺度的海岸线时。，将使海岸线无限长的结论感到困惑。 Mandelbrot将此结果与无限周期的曲线结构相关联。本文的结论令人惊讶：海岸线的长度不确定，这取决于测量时使用的尺度。因为海岸线弯曲并包含较小的曲线。使用不同长度的统治者来测量海岸线，并且所得的长度不同。

我们使用各种数学原则来挖掘金融市场交易中的高频数据，并获得了与主流金融的一些不同结果，即价格波动的有限级布朗动议。它是指追踪证券和期货市场价格波动的运营概念。具体而言，它基于由交易市场的高频数据构建的空间正时结构，选择匹配量表并进行划分和转换。分形原理探讨了标准布朗运动中相关的增量过程，因此发现相应量表的相对随机行走（上山或下游）的趋势。

我们使用动态维度来建立固定点（转折点）的非线性动态编程模型，也就是说，在现代金融市场交易数据（例如价格，交易量，时间间隔）上执行各种特定的相位空间重建和时间等等。在重建的高维空间中，序列处理是一种非线性特殊动态因子（SOLON），遵循价格波动；同时，拟合了非线性随机差方程，并且使用Martingale方法和固定点理论来随机近似波动函数极点。 DX/DT = 0值是相应的低或高点股票和期货价格波动，优化了位置建设和装运的时机，并最终实现了通过在市场游戏中学习进化而成为少数群体赢家的目标。在方法方面，它具有气象预测，地震预测的物理原理的数值分析的特征以及对弹道导弹的死亡估算。它可以随机适应市场波的运营和演变中价格波动的峰值和山谷，并与时代保持同步。

4结论

布朗运动的广泛意义是数学和金融研究和发展的基石。布朗运动理论构建了主流金融经济学（数学和金融科学）的完整体系；小部分的布朗尼动议创造了一个机会，可以在复杂的系统科学系统下揭示金融市场的价格波动定律；基于复杂系统科学的有限尺度布朗尼动议指出了人们对金融市场交易价格波动的猜测的方向，并将金融经济学研究扩展到了一个新的领域 - 分形维度数学和物理融资。

参考

[1] Peters，E。资本市场中的分形结构。财务分析师J，1989（7）：434 ～453。

[2] GW Wornell，Av Oppenheim。使用小波[J]对噪声测量的断裂信号估计。信号处理的IEEE交易，1992,40（3）：611-623。